Tài liệu Hề pt bậc 2 tổng quát và cách giải doc

1
PHN I:
H BC HAI TNG QUT
H bc hai vi hai n x,y :

22
1 1 1 1 1 1
22
2 2 2 2 2 2
*
a x b xy c y d x e y f
a x b xy c y d x e y f








Trong trng hp c bit (i xng loi 1, loi 2, ng cp) thỡ cỏc cỏch tớnh s n
gin hn. Cũn khi cỏc tớnh cht c bit khụng cú, thỡ h (*) s c gii theo mt s
chung s c trỡnh by trong cỏc vớ d sau. Tuy nhiờn, phng phỏp ny khụng
phi l ti u. Nhỡn chung, cỏc dng thng gp u da trờn mt vi c thự ca
dng bc hai. Nu bit khai thỏc cỏc tớnh cht c bit ú ta s tỡm c li gii ngn
gn.
MT S V D :
Vớ d 1 : Gii h :

22
22
22
2( ) 11
x y x y
x y x y








Gii :
Xột x = 0 thỡ h cú dng :
2
2
22
2 11
yy
yy







h ny vụ nghim.
Xột
0x
. t y =
x


Khi ú h ó cho cú dng :




22
22
1 1 2 2
1 2 1 11
xx
xx










t
2
xz
ta c h :







2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
1 1 2 2
1 2 1 11
1 1 2
1 4 1
1 2 2
12
1 .9
1 11
2 1 2
26 7
11 2 2
x
z
y x x z
zx
zx
D
D
D
































Vỡ
0
x
D


nờn nu
4 1 0


thỡ D = 0, h cú nghim.
Xột
1
4


:


2


2
9 26 7
;
41
1 4 1
x
z
D
D
xz
DD







.
iu kin
2
xz
cho ta phng trỡnh tớnh






2
2
2
81 26 7
1 4 1
41
2
81 1 26 7 4 1
44
23


















+)Vi
2


thỡ
1
2
x
y






+)Vi
44
23


thỡ
9 23
44
17
4. 1
23
44 23 44
.
23 17 17
x
y
















Vy h ó cho cú hai nghim l :
23
1
17
,
2 44
17
x
x
y
y













.
Vớ d 2 : Gii h :

22
22
4 2 3
2 12
x y x y
x xy y x y








Gii :
Xột x = 0. Khi ú h cú dng :

2
2
23
2 12
yy
yy








H ny vụ nghim.
Xột
0.x
t
yx



Khi ú h ó cho tr thnh :





22
22
1 2 2 3
1 1 2 12
xx
xx










t x
2
= z ta c h :





2
2
2
;
1 2 2 3
1 1 2 12
x z y x
zx
zx
















3

2
32
2
2
2
2
1 2 4
4 7 8 5
1 1 2
3 2 2
18 45
12 1 2
13
15 3 15
1 12
z
x
D
D
D




















01D


thỡ h vụ nghim. Xột
1.



iu kin z = x
2
cho ta phng trỡnh xỏc nh



2
2
.
z
x
z
zx
x
D
z
D
D
D
D D D
D
DD
x
D





















2
3 2 2
43
32
22
2
18 45 4 7 8 5 15 3 15
153 216 360 0
153 216 360 0
153 2 90 4 0
2 153 90 180 0
0
2





















+) Khi
0


thỡ D = 5; D
x
= 15
30xy
.
+) Khi
2


thỡ D = 81; D
x
= 81
12xy
.
Vy h ó cho cú hai nghim:
3; 0
1; 2
xy
xy







Vớ d 3 : Xỏc nh giỏ tr ca m h sau cú nghim :

22
2
2
2 2 2
x xy y x m
x xy x m








Gii :
ý rng :



2 2 2
2 2 2
22
2 2 2 2 2
4 4 2 4 2
2 2 1 0
x xy y x x xy x
x xy y x x
x y x






4
H ó cho



22
2
22
21
2 2 2 2
2 2 1 3 3
x xy y x m
x xy x m
x y x m











Nu m < 0 thỡ (3) vụ nghim. Vy h vụ nghim.
Xột m
0
. Nhn xột rng x, y tha món
(3) 0m
cn chn x, y tha
món h :

1
10
1
20
2
x
x
xy
y













Th vo (1) v (2) ta c :


2
2
11
1 1. 2. 1
24
0
1
1 2.1. 2.1 2
2
m
m
m











Vy vi
0m
thỡ h ó cho nhn

1
, 1,
2
xy




l mt nghim.
Kt lun : H cú nghim khi v ch khi
0m
.

Vớ d 4: Chng minh rng vi mi

2 1 3
1,
3
m






h sau cú nghim

22
2
1x y xy
x x y xy m









Trc khi bc vo gii toỏn ta hóy phõn tớch bi toỏn trc.
Ta cú h ó cho tng ng vi




22
2
2
2
22
2
2
2
1
1
11
2
15
3
24
x y xy
x x y xy m
x y x y x m
x y xy
x x y xy m
x y x m


























iu kin cn h cú nghim l (3) phi cú nghim,do ú
55
0
44
mm

Xột (x, y) tha món iu kin :


5

00
11
0
22
xx
x y y









Khi ú (3) tha món
5
4
m
, th vo (1) ta c
1
1
4

tha món.
Th vo (2) ta c
1
2
m

Vy bt phng trỡnh h qu khụng cho ta kt qu cn tỡm.
Gii :
Vit h ó cho di dng :



22
34
1
x y x y
x y x m








Xột nghim dng (x, y) = (0,

)
Khi ú, ta cú :
2
1
11m
m









Vy iu kin tn ti nghim dng

0,

l
11m
khi ú ta c nghim

, 0,x y m
. (*)
Tng t, xột nghim

,,x y t t

Khi ú ta c h xỏc nh t :



2
2
11
12 4
33
21
22
t
t
t t m
f t t t m














Ta thy vi
11
33
t
thỡ
11
.
2
3
ff







Do ú vi

1 1 1 2
13
2 2 3
3
f m f







thỡ h ó cho cú nghim (x, y) = (t, t).
Kt hp vi (*) ta cú : vi

2 1 3
1,
3
m






thỡ h ó cho cú nghim.

BI TP :
1, Gii cỏc h sau :


2
22
2 2 2
36
2 2 0
,,
2 2 2
24
x y x y
x y x y
ab
x y x y
x y x y













2, Gii v bin lun cỏc h :
2 2 2 2 2 2
,,
2 2 2 2
x y a
x y a
ab
x y x y a a x y x y a a










3, Xỏc cỏc giỏ tr ca a v b h sau cú nghim :


6


22
22
11
11
x y x y a
x y x y b










PHN II :


Gii hn ca hm s
I/ Kin thc c bn.
A.Gii hn hu hn.
Gi s
(a;b)
l mt khong cha im
0
x
v f l mt hm s xỏc nh trờn
khong
0
(a;b) \ x
. Khi ú
0
0
xx
limf(x ) L


nu
n
dãy số (x )
trong tp hp
0
(a;b) \ x
m
n0
limx x
,ta u cú
n
limf(x ) L
.
B.Gii hn vụ cc.


00
x x x x
limf(x) hay limf(x)


nu

dóy
n
x
0
(a;b) \ x
m
n0
limx x
, ta u cú
n
limf(x )

n
hay limf(x )
.
*Gii hn hm s ti vụ cc.
+/ Gi s ta cú hm s f xỏc nh trờn
(a; )
. Ta núi rng hm s f cú gii hn
l s thc L khi x dn n

nu vi mi dóy
n
(x )
trong khong
(a; )
m
n
limx
,ta u cú
n
limf(x ) L
.
Ta vit
x
lim f(x) L


.

xxx
xx
+/ T- ơng tự ta có lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L,
lim f(x) , lim f(x) .





1.Mt s nh lý v gii hn.
nh lý 1: Gi s
0
x x x
limf(x) L và limg(x) M


. Khi ú:
a/

0
xx
lim f(x) g(x) L M.



b/

0
xx
lim f(x) g(x) L M.



c/


00
x x x x
lim f(x).g(x) L.M đặc biệt lim cf(x) cL.



d/
0
xx
f(x) L
lim ,M 0
g(x) M





.
nh lý 2: Gi s
0
0
xx
limf(x ) L


, khi ú:
a/
0
xx
lim f(x) L


.


7
b/
0
3
3
0
xx
lim f(x ) L


.
c/ Nu
0
f(x) 0 x J \ {x }
,trong ú J l mt khong no ú cha im
0
x
thỡ
0
0
xx
L 0 và lim f(x ) L


.
2. Gii hn mt bờn.
+/ Gi s hm s f xỏc nh trờn khong
0
(x ;b)
.Ta núi hm s f cú gii hn
bờn phi l L khi x dn n
0
x
(hoc ti im
0
x
),nu vi mi dóy
n
(x )
trong
khong
0
(x ;b)
m
n0
limx x
,ta u cú
n
limf(x ) L
.
Ta vit
0
xx
lim f(x) L



.
+/ nh ngha tng t cho
0
xx
limf(x) L



.
+/ Hm s cú gii hn ti
0
x
v
0
xx
limf(x) L


tn ti
0
xx
lim f(x)


,
0
xx
lim f(x)


v
00
x x x x
limf(x) lim L



.
3.Mt vi quy tc tỡm gii hn vụ cc.
+/ Nu
0
xx
lim f(x)


thỡ
0
xx
1
lim 0
f(x)


.
+/ Quy tc 1.
Nu
00
x x x x
limf(x) và lim g(x) L 0


,thỡ

0
xx
lim f(x).g(x)

cho bi bng sau:

0
xx
limf(x)


Du ca L

0
xx
lim f(x).g(x)


























Quy tc 2:
0
xx
limf(x) L 0


v
0
xx
limg(x) 0 và g(x) 0 hoặc g(x) 0





0
x J\ {x }
, trong ú J lmy khong no ú cha im
0
x
,thỡ
0
xx
f(x)
lim
g(x)

cho bi
bng sau:

Du ca L
Du ca f(x)
0
xx
f(x)
lim
g(x)


























4. Mt s dng vụ nh.


8
Dng
0
0
:
Cỏch kh :
+/ Phõn tớch t v mu thnh tớch gii c nhõn t chung.
+/ Nu u(x) hay v(x) cú cha bin s di du cn thỡ cú th nhõn c t v mu
vi biu thc liờn hp.
Dng


:
+/ Chia c t v mu cho
k
x
,vi k l s m cao nht ca bin s x.(Hay phõn
tớch t v mu thnh tớch cha nhõn t
n
x
ri gin c).
+/ Nu u(x) v v(x) cú cha bin x trong du cn, thỡ a
k
x
ra ngoi (k l bc
cao nht ca x trong cn) trc khi chia c t v mu cho ly tha ca x.
Dng

v dng
0.
:
+/ Nhõn v chia vi biu thc liờn hp,nu cú biu thc cha bin x di du cn
hoc quy ng mu a v cựng mt phõn thc.
II. K nng c bn.
Vn dng linh hot cỏc nh lý v gii hn hu hn v cỏc quy tc tỡm gii hn
vụ cc gii cỏc bi toỏn v gii hn hm s.
III. Mt s vớ d:
Vớ d 1: p dng nh ngha tớnh
2
x2
3x x 1
lim
x1



.
Gii :
+/ Hm s
2
3x x 1
f(x)
x1



xỏc nh trờn

\1Ă
.
+/ Gi s

n
x
l dóy s tựy ý m
n
x2
.
Khi ú

2
2
nn
n
n
3x x 1
3.2 2 1
limf(x ) 11
x 1 2 1





+/ Vy
2
x2
3x x 1
lim 11
x1




.
Vớ d 2: p dng nh ngha tớnh
2
2
x1
x 2x 3
lim
2x x 1



.
Gii :
+/ Hm s
2
2
x 2x 3
f(x)
2x x 1



xỏc nh trờn

1
\ 1,
2
Ă
.
+/ Gi s

n
x
l dóy s tựy ý m
n
x1
.
Khi ú


9

2
nn
n
2
nn
nn
nn
n
n
x 2x 3
f(x ) lim
2x x 1
(x 1)(x 3)
lim
1
2(x 1)(x )
2
x3
4
lim
1
3
2(x )
2










+/ Vy
2
2
x1
x 2x 3 4
lim
3
2x x 1




.
Vớ d 3: Tớnh
1/
2
x5
x5
lim
x 25




2/
2
x5
x5
lim
x 25




.
Gii :
1/ Ta cú :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 x 5 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25






.
2/ Ta cú :

2
x 5 x 5 x 5
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25






.
Lu ý : Do
22
x 5 x 5
x 5 x 5
lim lim
x 25 x 25





nờn

2
x5
x5
lim
x 25



.
Vớ d 4: Cho hm s
2
7x 4x 3 khi x 1
f(x)
4x 2 khi x 1






.
Tớnh
x1
limf(x)

.
Gii :
+/ Ta cú hm s f(x) xỏc nh trờn tp
Ă
.
+/
2
x 1 x 1
limf(x) lim(7x 4x 3) 6


.
+/
x 1 x 1
limf(x) lim(4x 2) 6



.
+/ Do
x 1 x 1
limf(x) limf(x) 6



nờn
x1
limf(x) 6


.
Vớ d 5: Tớnh
1/
32
x
1
lim
3x x 2


3/
2
2
x
x 7x
lim (1 2x)(3 )
x1








2/
3
2
x
3x x 1
lim
x 3x 1



.
Gii :


10
1/ Ta cú
3
32
xx
3
1
1
x
lim lim 0
12
3x x 2
3
x
x




.

3
x
3
x
1
Vì lim 0
x
12
lim 3 3.
x
x









3
3
23
2
xx
2
2
23
x
2
11
x3
3x x 1
xx
2/ lim lim
31
x 3x 1
x1
x
x
11
3
xx
lim x
31
1
x
x
= .



















2
2
xx
7
1
x 7x 1
x
3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 3
1
x
x1
1
x
.



























x
xx
Vì limx
7
1
1
x
lim 2 2, lim 3 2 .
1
x
1
x
















Vớ d 6: Tớnh
1/
2
x0
(x 3) 27
lim
x


2/
3
x2
3 x 1
lim
x2




3/
3
2
2
x1
5 x x 7
lim
x1



.
Gii :

1/ Ta có



11

2 3 2
x 0 x 0
2
x0
(x 3) 27 x 9x 27x
lim lim
xx
lim(x x 27x) 27.








3
x 2 x 2
2
3
3
2
x2
3
3
2/
3 x 1 (3 x) 1
lim lim
x2
(x 2) (3 x) 3 x 1
1
lim
(3 x) 3 x 1
1
.
3












Tacó
=

3/ Ta cú

33
22
2 2 2
x 1 x 1
5 x x 7 5 x 2 x 7 2
lim lim
x 1 x 1 x 1






.
Mt khỏc

2
x 1 x 1
x1
5 x 2 1 x
lim lim
x1
(x 1)(x 1)( 5 x 2)
1
=lim
(x 1)( 5 x 2)
1
= .
8











3
22
2
3
x 1 x 1
2 2 2 2
3
3
2 2 2
x1
3
x 7 2 x 1
lim lim
x1
(x 1) (x 7) x 7 2
1
lim
(x 7) x 7 2
1
=
12












Vy
3
2
2
x1
5 x x 7 1 1 5
lim
8 12 24
x1




.
Vớ d 7: Tớnh




x
5x 3 1 x
1/ lim
1x





2
2
x
x 2x 3x
2/ lim
4x 1 x 2



12




2
x
3/ lim x x x

Gii:

xx
2
x
3 1 x
5
5x 3 1 x
x
1/ lim lim
1
1x
1
x
11
53
x
x
= lim
1
1
x
= 5 .












2
2
xx
x
x
2
x 1 3x
x 2x 3x
x
2/ lim lim
1
4x 1 x 2
x 4 x 2
x
2
x 1 3
x
= lim
12
x 4 1
xx
2
13
x
= lim
12
41
xx



















= 4 .


2
2
xx
x
x
x
3/ lim x x x lim
x x x
x
= lim
1
x 1 1
x
1
= lim
1
11
x
1
=
2











IV.Bi tp
Bi1:Dựng nh ngha tớnh gii hn.


13

2
x3
x5
1/ lim
x4





2
x2
x 3x 2
2/ lim
x2



.
Bi 2 : Tớnh

2
2
x1
2
2
x2
x1
1/ lim
x 3x 2
x 4x 12
2/ lim
x x 6










Bi 3: Tỡm a hm s
2
x 7x 2a 4 khi x>2
f(x)
3ax 4 khi x 2







Cú gii hn khi x dn n 2.
Bi 4: Tớnh
32
x 1 x 1
33
2 3 3
x 0 x 1
2x 7 x 4 2x 7 3
1/ lim 2/ lim
x 4x 3
2 x 3
x x 1 x 1 x 3x 2
3/ lim 4/ lim
x x 1









Bi 5:Tớnh
33
x 0 x 1
3
3
2
x1
x1
1 2x 1 3x x 7 x 3
1/ lim 2/ lim
x
x 1 x x 1 1
3/ lim 4/ lim
x 2 1
x1









Bi 6 :Tớnh



2 2 2
2
xx
2
2
3
3
xx
3
x 1 x
3
2 3 3 2 2
xx
x 2x 3 4x 1 9x x 1 4x 2x 1
1/ lim 2/ lim
x1
4x 1 2 x
x 2x 3
3/ lim 4/ lim 2x 1 4x 4x 1
x x 2
24
5/ lim 6/ lim x x x x
1x
1x
7/ lim x 3x x 8/ lim x 3x x 2x .

















Bi 7: Tớnh gii hn sau theo a.

Xem chi tiết: Tài liệu Hề pt bậc 2 tổng quát và cách giải doc