Hệ thức vieete và ứng dụng

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Hệ thức vieete và ứng dụng": http://123doc.vn/document/534569-he-thuc-vieete-va-ung-dung.htm

Bùi Thị Thuý Nga

( 1) 0
1 0
1
m
m
m
=
=
=
* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2
2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phơng trình :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x
1
và x
2
tìm giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0

2 2
2
2
2 ( 2)
1 7
( )
4 4
1 7 7
( ) 0
2 4 4
c m m m m
m m
m
= + = +
= + +

= <
a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m
Theo hệ thức Vi ét P =
2
1 2
. 2 0
c
x x m m
a
= = + <
do đó 2 nghiệm trái dấu
b) Ta có

2 2
( 1) 2( 2)m m m
= +
=
2
2 2
2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m + + + = +

2 2
4 5 2 4 11
3 3( 2 )
3 3 3 9 9
m m m m

= + = + +
ữ


2
2 11 11
3( )
3 3 3
m= +
Vậy Min
( )
2 2
1 2
11
3
x x
+ =
khi m =
2
3

5
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
+ = +
Bùi Thị Thuý Nga
Bài tập 5:
Cho phơng trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
+ + =
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá
trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phong trình có 2 nghiệm trái dấu
2
7 0 7 7m m + < < <
Với điều kiện này giả sử x
1
< 0 ,x
2
> 0 theo đề ra ta có
2
2 2
1 1 2
2
1 7
1 ( ) 1 7 2 5 5
2
m
x x x m m m
x
+
= = = = = =
Vì m > 0 nên ta chọn m =
5
( thoả mãn điều kiện
7 7m < <
)
Kết luận : Vậy với m =
5
thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm
âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia .
Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 2007 ) (2 đ)
Xét phơng trình :
4 2 2
2( 2) 5 3 0x m m + + + =
(1) với m là tham số
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm
phân biệt
2) Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là
1 2 3 4
, , ,x x x x
. Hãy tính theo m giá trị
của biểu thức M =
2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + +
Giải :
1) Đặt x
2
= y ( ĐK : y

0 ) Pt (1) trở thành
2 2 2
2( 2) 5 3 0y m y m
+ + + =
(2)
6
2
, 2 2
( 2) (5 3)m m

= + +

Bùi Thị Thuý Nga

2 2 2
4 2 2
4 2
2 2 2
2 2
( 2) (5 3)
4 4 5 3
1
1 1 3
( ) 2 .
2 4 4
1 3
( )
2 4
m m
m m m
m m
m m
m
= + +
= + +
= +
= + +
= +
Có
2 2 2 2
1 1 3 3
( ) 0 ( )
2 2 4 4
m m
+
nên
,
0


Phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi ét có
2
2
1 2
2( 2)
2( 2)
1
b m
S y y m
a
+
= + = = = +
2
1 2
. 5 3
c
P y y m
a
= = = +
Xét
2
5 3P m
= +
có
2 2 2
0 5 0 5 3 3m m m
+

nên P > 0 với mọi m

Z
1 2
,y y

cùng dấu
Xét
2
1 2
2( 2)
b
S y y m
a

= + = = +
.
Vì
2 2 2
0 2 2 2( 2) 4m m m + +
nên S > 0
1 2
,y y

cùng dấu dơng (thoả mãn ĐK y

0)
Vậy phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dơng nên phơng trình (1) có
4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có
1 2 3 4
, , , 0x x x x

và
1 1 2 1
,x y x y
= =


3 2 4 2
,x y x y
= =

7
Bùi Thị Thuý Nga
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
M
y y y y
= + + +


1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1 1
2 2
2 2
.
2( )
.
y y y y
y y
y y
y y
y y
y y
= + + +
= +
+
=
+
=
Thay kết quả S và P vào M ta đợc
2 2
2 2
2.2( 2) 4( 2)
5 3 5 3
m m
M
m m
+ +
= =
+ +
Kết luận:
2
2
4( 2)
5 3
m
M
m
+
=
+
Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ)
Cho phơng trình
2
2( 1) 0x m x m
+ + =
( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Trong trờng hợp m > 0 và
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy
tìm GTLN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x
A
x x
+ + +
=
Giải:
a)
[ ]
2
,
( 1)m m
= +

2
2
( 1)
2 1
m m
m m m
= +
= + +
8
Bùi Thị Thuý Nga

2
2
1
1 1 3
2. .
2 4 4
m m
m m
= + +
= + + +
2
1 3
( )
2 4
m
= + +
Vì
2
1
( ) 0
2
m
+
nên
2
1 3 3
( )
2 4 4
m
+ +
,
0 m Z
>
Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị
m
b)
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x
A
x x
+ + +
=

Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
áp dụng hệ thức Vi ét ta có
S =
1 2
2 2
b
x x m
a

+ = = +
P =
1 2
.
c
x x m
a
= =
Vì P = m > 0 nên
2 2
, 0x x

biểu thức A đợc xác định với mọi giá trị
1 2
,x x
1 2
,x x

tính theo m
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
2 2 3( ) 6
.
x x x x x x x x
A
x x
+ + + +
=
=
2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) 2 . 3( ) 6x x x x x x
x x
+ + +
Thay S và P vào biểu thức A ta đợc :

2
2
(2 2) 2 3(2 2) 6
4 8 4 2 3(2 2) 6
m m m
A
m
m m m m
m
+ + +
=
+ + + +
=
9
Bùi Thị Thuý Nga

2 2 2
4 4 1 1
4( ) 4( )
1
4( )
m m m
m m m m
m
m
+ +
= = = +
= +
Theo bất dẳng thức Cô Si vì
1 1
( ) : 2 .m m
m m
+
( do m > 0và
1
0
m
>
)
1
2. 1
1
2
1
4( ) 8
m
m
m
m
m
m
+
+
+
Vậy biểu thức A có GTNN là 8
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra

m =
1
m

2
1
1
m
m
=
=
Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0
m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8
Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ)
Xét phuơng trình mx
2
+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x
+ =

b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có
nghiệm số hữu tỉ
Giải
a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm
0
0
m





Xét
2
(2 1) 4 ( 2)m m m
=
10
Bùi Thị Thuý Nga

2 2
4 4 1 4 8
4 1
1
0 4 1 0
4
m m m m
m
m m
+ +
= +

+
Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m
0

và m
1
4


Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

1 2
1 2b m
S x x
a m

= + = =

1 2
2
.
c m
P x x
a m

= = =
Gọi
2 2
1 2 1 2
A x x x x
= +

2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
( ) 2
( ) 3
x x x x x x
x x x x
= +
= +
áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK
0
1
4
m
m







)

2
1 2 2
( ) 3 4
m m
m m

=

2
2
2 2 2
2
2
1 4 4 3 6
4
1 4 4 3 6 4
3 2 1 0
3 2 1 0
m m m
m m
m m m m m
m m
m m
+
=
+ + =
+ + =
=
Có a + b + c = 3 2 1 = 0 => m
1
= 1 ( thoả mãn điều kiện m
0
và m
1
4


)
m
2
=
1
3

( không thoả mãn điều kiện m
0
và m
1
4


)
Vậy với m = 1 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x
+ =
11
Bùi Thị Thuý Nga
c) Gọi n
*
N
ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
( TMĐK m

0 )
d) Theo kết quả phần a ta có
2 2
4 1 4 ( 1) 1 4 4 1 (2 1)m n n n n n
= + = + + = + + = +
0

vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
2 1 2 1n n = + = +
( do n > 0 )
2
1
2 2
1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1
2 2 ( 1) 2 (2 1)
2 2 2(1 ) 2(1 )(1 ) 1
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)
m n n n n n n
x
m n n n n
n n n n n
n n n n n n n
+ + + + + +
= = =
+ +
+
= = = =
+ + +
2
2
2
1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1
2 2 ( 1) 2 ( 1)
2 4 2 ( 2) 2
2 ( 1) 2 ( 1) 1
n n n n n n n
x
m n n n n
n n n n n
n n n n n
+
= = =
+ +
+ +
= = =
+ + +
Vì n
*
N
nên 1- n
Z
và n
*
N
=>
1
1 n
x
n

=
là phân số
Q
tử n +2
*
N
và n +1
*
N
=>
2
2
1
n
x
n
+
=
+
là phân số
Q
Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số
hữu tỉ
3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết
a) x + y = 11 và xy = 28
b) x y = 5 và xy = 66
Giải :
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của ph-
ơng trình x
2
- 11x + 28 = 0
12
Bùi Thị Thuý Nga
2
4b ac
=
= 121 112 = 9 > 0
3
=
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
1 2
11 3 11 3
7;
2 2
x x
+
= = =
= 4
Vậy x = 7 thì y = 4
x = 4 thì y = 7
b) Ta có
5 ( ) 5
6 ( ) 66
x y x y
xy x y
= + =



= =


có x , y là nghiệm của phơng trình x
2
- 5x - 66 = 0
2
4b ac
=
= 25 + 264 = 289 > 0 ,

= 17
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
1 2
5 17 5 17
11; 6
2 2
x x
+
= = = =
Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11
Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x
2
+ y
2
= 25 và xy = 12
Giải :
Ta có x
2
+ y
2
= 25 <=> (x + y )
2
- 2xy = 25 <=> (x + y )
2
- 2.12 = 25
(x + y )
2
= 49 <=> x +y =

7
* Trờng hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x
2
- 7x +12 = 0
2
4b ac
=
= 49 4.12 = 1
1 2
7 1 7 1
4; 3
2 2
x x
+
= = = =
* Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x
2
+7x +12 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
3
= -3 ; x
4
= - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc
13
Bùi Thị Thuý Nga
tham số :
Bài tập 11 : Cho phơng trình x
2
- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm
1 2
,x x

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
2 2
1 2 2 1
3 3 3x x
M
x x x x
+
=
+
b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ?
Giải
a)
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 ( ) 2 1
3( 1)
( ) ( )
x x x x
x x
M
x x x x x x x x

+
+

= =
+ +
Theo hệ thức Vi ét có
1 2 1 2
; . 1S x x a P x x a
= + = = =

Vậy
[ ]
2
3 2( 1) 1
3 ( 1)( 1) 2( 1)
( 1) ( 1)
a a
a a a
M
a a a a


+

= =


2 2
3( 1) 3( 1) 3( 1)
( 1) ( 1)
a a a
a a a a a

= = =

(ĐK :
0, 1a a

)
b) Ta có
1 2
S x x a
= + =
(1)

1 2
. 1P x x a
= =
(2)
Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có
1 2 1 2
1x x x x+ =
, đây là biểu thức liên hệ giữa x
1
và
x
2
không phụ thuộc vào a
C) Các bài tập t ơng tự
Bài tập 1 : Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) x
2
- 6x +8 = 0
b) 11 x
2
+13x -24 =0
c) 2 x
2
- 6x + 7 = 0
Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình
a) 7 x
2
+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b) 12 x
2
+70x + k
2
+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu
14