¤n
Thi TNPT 2009
2
2 2
1 0 1 1 2
2
1 2 1 1 2
2
11
[ 4;4]
[ 4;4]
Vậy : M = max y y( ) khi t = sin x x k ,k
m = minx y y( ) khi t = sinx x k ,k
y = cos x sinx
Biến đổi : y = (1 sin x) sinx sin x sinx 1
Đặt : t = sin
−
−
π
= = ⇔ = ⇔ = + π ∈
π
= − = − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈
+
− + = − + +
¢
¢
2
1
2 1 2 1 0
2
1 7
1 1 1 1
2 4
x , t [ 1;1] thì y = t t 1 = g(t)
g = t , g = 0 t t
Ta có: g( ) ,g( ) ,g( )
∈ − − + +
′ ′
− + ⇔ − + = ⇔ =
= − − = − =
1
1 1 1 1 2
2
[ ;1]
Vậy : M = max y max g g( ) khi t = sin x x k ,k
−
π
= = = ⇔ = ⇔ = + π ∈
¡
¢
1
1 7 1 1 5
2 2
2 4 2 2 6 6
[ ;1]
m =min y = min g g( ) khi t = sinx x k ,x k với k
−
π π
= = − ⇔ = ⇔ = + π = + π ∈
¡
¢
3
3 3 2
3 2
2 2
12 2 2
1 2 1 2 1
1 1 2 1
1
3 4 1 0 3 4 1 0 1
3
1
1 1
3
y = sin x cos x sin x
Biến đổi : y = sin x ( cos x) sinx y sin x sin x sin x
Đặt : t sin x,t [ ; ] ta được y = t t t g(t)
g t t , g t t t ,t
Ta có : g( ) , g( )
− + +
+ − + + ⇒ = + + +
= ∈ − + + + =
′ ′
= + + = ⇔ + + = ⇔ = − =
− = =
23
27
1 1 2
2
1 23
3 27
1 1 1 1
2 2
3 3 3 3
[ 1;1]
[ 4;4]
[ 1;1]
, g(1) = 5
Vậy : M = max y max g g(1) = 5 khi t = sin x x k ,k
m = minx y max g g( )
khi t = sin x x arcsin k , x arcsin k với k
−
−
−
π
= = ⇔ = ⇔ = + π ∈
= = =
⇔ = ⇔ = + π = π − + π ∈
¡
¢
¢
- 5 -
¤n
Thi TNPT 2009
13 2 6
1 1 1 1
0 2 6 4
2 2 2 6 2 2 2 6
2
2
[2;6]
y = x x
Hàm số xác đònh và liên tục trên D = [2;6]
y = , y = 0 x x x
x x x x
Ta có : y(2) = 2 , y(6) = 2 , y(4) = 2
Vậy : M =max y = y(4) = 2
m =m
− + −
′ ′
− ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
− − − −
2
2 2
2 2
2 2
1
14 1
1 1
1 2 2
1 0 1 2 0
2
1 1
2 1 2 1
1 0
2 2 2 2
2
2
[2;6]
[ ; 1]
in y = y(2) = y(6) = 2
y = x x
Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ]
x x
y x , y x x
x x
Ta có : y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy : M = max y = y( )
−
−
= −
−
′ ′
= − − = = ⇔ − = ⇔ = ±
− −
− = − = ± =
=
1
1
2
2 1
2 2
[ ; 1]
m = min y = y( )
−
− = −
2
15
2 3
2
2 4 1 1 3 1
x nếu 2 x 1
y =
x + 2 nếu 1< x 3
Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ]
x nếu 2 x 1
y , y = 0 x = 0
1 nếu 1< x 3
Ta có : y(0) = 0 , y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy :
− ≤ ≤
− ≤
= −
− < <
′ ′
= ⇔
− <
− = = = −
2 3
2 3
2 4
1
[ ; ]
[ ; ]
M = max y = y( ) =
m = min y = y(3) =
−
−
−
−
16
0
2 2
0
2
y sin x cos x
sinx
ĐK : k x k ,k
cosx
= +
π
≥
⇔ π ≤ ≤ + π ∈
≥
¢
4
4
0
2
2
0
4
2 2 2 2
8 1
4 2
8
4
[ ; ]
Vì hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét D = [0 ; ]
sinx cosx sinx cosx
y ; y x
cosx sin x cosx sin x
Ta có : y( ) , y(0) = 1 , y( )
Vậy : M =max y = y( )
π
π
π
π
′ ′
= − + = ⇔ = ⇔ =
π π
= =
π
=
0
2
1
2
[ ; ]
m = min y = y(0) = y( )
π
π
=
- 6 -
¤n
Thi TNPT 2009
2
2
2
2
2 1
17
1
2 1
1
2 4
0
1
cos x cosx
y
cosx
t t
TXĐ : D . Đặt t = cosx , t [0;1] ta được : y = = g(t) với t [0;1]
t
t t
g = ,t [0;1] , g (t) = 0 chỉ tại t = 0 nên g(t) đồng biến trên [0;1]
(t )
Vì : g(
+ +
=
+
+ +
= ∈ ∈
+
+
′ ′
≥ ∈
+
¡
0 1
0 1
0 1 1 2
1 2 1 0
1 0 0
2
[ ; ]
[ ; ]
) ,g( )
Vậy : M =max y = max g g( ) khi t = 1 cosx sin x x k ,k
m =min y =ming y(0) = khi t = 0 cosx cosx x k ,k
= =
= = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π ∈
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈
¡
¡
¢
¢
2
2
1 2 3
: Tìm GTNN và GTLN của các hàm số liên tục trên D [aLOẠ ;b
y x x
I
T
] :
XĐ : D
=
≠
− +
= ¡
2 2 0 2 2 0 1 y x , y x x
′ ′
= − = ⇔ − = ⇔ =
Bảng biến thiên
2
Vậy : Không có GTLN .
m =min y = y(1) =
¡
3 4
2 4 3 y x x
TXĐ : D
= −
= ¡
2 3 2 2
12 12 0 0 0 1 y x x = 12x (1 x) , y 12x (1 x) x ,x
′ ′
= − − = ⇔ − = ⇔ = =
Bảng biến thiên
1 1Vậy : M =max y = y( ) =
Không có GTNN
¡
4
3 y x với x > 0 .
x
= +
- 7 -
x
−∞
1
+∞
′
y
−
0 +
y
+∞
+∞
2
x
−∞
0 1
+∞
y
′
+ 0 + 0
−
y
1
−∞
−∞
¤n
Thi TNPT 2009
2
4
1
4 4 4
2 4 4 4 2
4
(0;+ )
Cách : Áp dụng bđt Côsi cho hai số dương x và .
x
Ta có : x + x . y , x (0;+ ) .Dấu "=" xảy ra x = x x
x x x
Vậy : M = max y
∞
≥ = ⇔ ≥ ∀ ∈ ∞ ⇔ ⇔ = ⇔ =
=
2
2 2
0
4 4
1 0 1 0 4 2
Cách 2 :
TXĐ : D ( ; )
y , y x x
x x
= +∞
′ ′
= − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Bảng biến thiên
0
4
( ; )
Vậy : Không có GTLN
m = min y = y(2) =
+∞
4 3
3
6 3
3 0 6 3 0 2
2 3 2 3
y x x
TXĐ : D = ( ; ]
x x
y x , y x x
x x
= −
−∞
−
′ ′
= − − = = ⇔ − = ⇔ =
− −
Bảng biến thiên
2 2Vậy : M =max y = y( ) =
Không có GTNN
¡
{ }
2
2 2
2
2
1
1
1
1 2
0
0 2 0
2
1
1
x x
5 y
x
TXĐ : D = \
x x x x
x
Xét hàm số g(x) = ; g (x) = ,g x x
x
x
(x )
− +
=
−
− + −
=
′ ′
= ⇔ − = ⇔
=
−
−
¡
Bảng biến thiên g
- 8 -
x
−∞
2−
0 2
+∞
y
′
+ 0
−
−
0 +
y
+∞
+∞
4
x
−∞
2 3
+∞
y
′
+ 0
−
−
y
2
−∞
−∞
¤n
Thi TNPT 2009
Suy ra bảng biến thiên của y
1
Vậy : Không có GTLN
m =min y = y(0) =
¡
6 3 6 3 6
3 0 3
3 6 3 6
6 0 6
1 1 3
3 6 0
2
2 3 2 6
y x x ( x)( x)
x x
TXĐ : D [ ; ] . Vì x
x x
Đặt t x x , ta có : t = ;t x
x x
= + + − − + −
+ ≥ ≥ −
= − ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− ≥ ≥
′ ′
= + + − − = ⇔ =
+ −
Bảng biến thiên của t
Vậy :
t [3;3 2]∈
2 2 2
2
9 9 2 9
9 2 3 6 3 6
2 2 2
1 2
9
2 3 2
2
t t t t
Khi đó : t x. x x. x nên y = t g(t)
g (t) t , g = 0 t = 1 [3;3 ] .
Ta có : g(3) = 3 , g(3 )
− − − + +
= + + − ⇒ + − = − = =
′ ′
= − + ⇔ ∉
= − +
- 9 -
x
−∞
0 1 2
+∞
g
′
+ 0
−
−
0 +
g
1−
−∞
−∞
+∞
+∞
3
x
−∞
0 1 2
+∞
y
′
+ 0
−
−
0 +
y
+∞
+∞
1
+∞
+∞
3
x
−∞
3−
3
2
6
+∞
t
′
+ 0
−
t
3 2
3 3
¤n
Thi TNPT 2009
3 6
3 3 2
3 6
3 3 2
3 3 3 6
9 3
2 3 2 2
2 2
[ ; ]
[ ; ]
[ ; ]
[ ; ]
Vậy : M = max y = max g g( ) = khi t = 3 x = x
m = min y = m in g g(3 ) = khi t = 3 x =
−
−
= ⇔ ⇔ − ∨ =
= − + ⇔ ⇔
2
1
7
2
3
0
2
x
y trên nửa khoảng (2;3]
x
TXĐ : D = (2;3]
y , với x (2;3]
(x )
+
=
−
−
′
= < ∈
−
Bảng biến thòên
2 3
4
( ; ]
Vậy : Không có GTLN
m =min y = y(3) =
2
1
8 1
1
1
x x
y trên nửa khoảng ( ;+ )
x
TXĐ : D = ( ;+ )
− + +
= − ∞
+
− ∞
2
2
2
2
0
0 2 0
2
1
x x
x
y ; y x x
x
(x )
− −
=
′ ′
= = ⇔ − − = ⇔
= −
+
Bảng biến thiên
1
0 1
( ; )
Vậy : M = max y = y( ) =
Không có GTNN
− +∞
2
2
9
1
x
y
x x
=
+ +
2
2
2
2 2
1 0
2
0
2 0
1
1
2
TXĐ : D = . Vì x x vô nghiệm
x x
x
y = ;y = 0 x x
x
(x
Cách : PP hàm số
x
.
)
+ + =
+
=
′ ′
⇔ + = ⇔
= −
+ +
¡
Bàng biến thiên
- 10 -
x
−∞
2 3
y
′
−
y
+∞
4
x
−∞
2−
1 0
+∞
y
′
+ 0
−
y
1
−∞
−∞
¤n
Thi TNPT 2009
2 4 3
0
Vậy : M =max y = y( ) = /
m =min y = y(0) =
−
¡
¡
2
2
2
2
1
1
1
0
4 1 0
2
TXĐ : D =
x
Gọi y là giá trò mà hàm số có thể đạt được x : y
x x
y
y
Phương trình : (y
Cách : PP dùng ta
1)x yx y có nghiệm x
y y(y )
äp giá trò của hàm số
⇔ ∃ ∈ =
+ +
=
≠
⇔ − + + = ⇔
∆ = − − ≥
¡
¡
1
4
0
3
4
3
y
y
Vậy tập giá trò của hàm số là T = [0 ; ]
=
⇔
≤ ≤
4 4
2
3 3
0 0 0
Vậy : M =max y = . Khi y = x
m =min y = . Khi y = x
⇔ ⇔ = −
⇔ ⇔ =
¡
¡
2 2 2
10
2 3
2 3 0 5 9
sin x cosx
y
sin x cos x
Phương trình sin x cosx có a b c nên vô nghiệm, do đó y có tập xác đònh D =
Gọi y là giá trò mà hàm số có thể đạt được x : phương trình y
−
=
+ +
+ + = + = < =
⇔ ∃ ∈ =
¡
¡
2 3
sinx cosx
có nghiệm
sin x cos x
(y 1)sinx + (2y+1)cosx+3y = 0 (1)
−
+ +
⇔ −
2 2 2
Áp dụng : của phương trình : asinx + bciều kiện có nghiệ sx = c là m a b c+ ≥
1 1TH : y . Khi đó : (1) cosx = 1 x = (2k+1) ,k= ⇔ − ⇔ π ∈¢
2 2 2
2 1
1
1 2 1 9 1
2
1
1
2
TH : y
( ) có nghiệm (y 1) ( y ) a y
Kết hợp hai trường hợp ta được : y
≠
⇔ − + + ≥ ⇔ − ≤ <
− ≤ ≤
1 1 2 1
1 1
2
2 2 2
Vậy : M =max y = . Khi y = x ( k ) ,k
m =min y = . Khi y = x k ,k
⇔ ⇔ = + π ∈
π
− − ⇔ ⇔ = − + π ∈
¡
¡
¢
¢
- 11 -
x
−∞
2−
0
+∞
y
′
+ 0 + 0
−
y
4
3
1
1 0
¤n
Thi TNPT 2009
2 2 2 2
11 3 4
3 4
4 25 5 5
3 4 3
5 3 4 5 1 1
5 5 5
y sin x cosx
TXĐ : D =
Biến đổi : sinx cosx y (1)
Phương trình (1) có nghiệm 3 ( ) y y y
Vậy :
min y khi sin x cosx sin x cosx sin(x ) với cos = , sin =
= −
− =
⇔ + − ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
• = − − = − ⇔ − = − ⇔ −α = − α α
¡
¡
4
5
2 2
2 2
3 4 3 4
5 3 4 5 1 1
5 5 5 5
2
2 2
x = k ,k x = k ,k
max y khi sin x cosx sin x cosx sin(x ) với cos = , sin =
x = k ,k x =
π π
⇔ − α − + π ∈ ⇔ α − + π ∈
• = − = ⇔ − = ⇔ − α = α α
π π
⇔ − α + π ∈ ⇔ α +
¡
¢ ¢
¢ 2k ,k+ π ∈ ¢
2 2
1 3
12
2 2
0 0 0
y trên ( ; )
sinx
sinx sin x
y ;y sinx x
cos x cos x
π π
=
′ ′
= = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π
Bảng biến thiên
3
2 2
1
( ; )
Vậy : M = max y = y( ) =
Không có GTNN
π π
π −
2 2 2 2
13 2 2 2 0
2
3
2 0 1 2
4 2 4 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 0
y sinx cosx sin x trên ( ; )
Đặt t = sinx+ cosx = sin(x ) . Vì x ( ; ) x ( ; ) t ( ; ]
Ta có : t sinx cos x sin x sin x t y t (t ) t t g(t)
g = t ; g = 0 t
π
= + −
π π π π π
+ ∈ ⇒ + ∈ ⇒ ∈
= + = + ⇒ = − ⇒ = − − = − + − =
′ ′
− + ⇔ − + = 1t⇔ =
Bảng biến thiên
- 12 -
x
2
π
π
3
2
π
y
′
+ 0
−
y
1−
−∞
−∞
t
1
2
y
′
−
y
2 2 3−
¤n
Thi TNPT 2009
1 2
0
2
2 2 2 3 2 2 2 1
4 4 4
( ; ]
( ; )
Vậy : Không có GTLN
m = min y = min g g( ) = khi t = sin(x ) sin(x ) x
π
π π π
= − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
2010 2010
2009 2009 2008 2008
2008 2008
14
2
2
2010 2010 2010
0 0 1
4
Tìm GTNN của y = sin x cos x trên (0 ; )
TXĐ : D (0 ; )
y cosxsin x sinxcos x sinx cos x(sin x cos x)
y sin x cos x sinx cosx tan x x
π
+
π
=
′
= − = −
π
′
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bảng biến thiên
1004
2
4
Vậy : Không có GTLN
m =min y = y( ) =
−
π
¡
1 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có die
Tìm GTN
än tích
L
l
N và GTLN có liên q
ớn nhất
Giải
Gọi x
OẠI 3
,y lần
uan đế
lượt
n h
là
ình học
chie
:
àu d
2
8
ài và chiều rộng của hình chữ nhật , suy ra x,y > 0
Theo đề : x< 8,y< 8 . Do đó : 0 < x< 8 , 0 < y< 8
Khi đó : Chu vi p = 2(x+y) = 16 x+y = 8 y = 8 x
Nên diện tích S = xy = x(8 x) x x
⇒ ⇒ −
− = − + 2 8 2 8 0 4; S = x , S = 0 x x
′ ′
− + ⇔ − + = ⇔ =
Bảng biến thiên
Bảng biến thiên cho
0 8( ; )
maxS = S(4) = 8 khi x = 4 thì y = 4
Vậy : Hình vuông có cạnh bằng 4cm là hình có diện tích lớn nhất
- 13 -
x 0
4
π
2
π
y
′
−
0 +
y
1004
2
−
x
−∞
0 4 8
+∞
S
′
+ 0
−
S
16
¤n
Thi TNPT 2009
2
2 Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 8cm , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất
Giải
Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật , suy ra x,y > 0
2
2 2
8
8 16
2 2
16 16
2 2
0 8
2 2
Theo đề : x.y = 8 y =
x
Khi đó : Chu vi p = 2(x+y) p (x+ ) = x + với x > 0 .
x x
x
p = 2 ; p = 0 2 x
x (loại)
x x
⇒
⇒ =
=
′ ′
− ⇔ − = ⇔ = ⇔
= −
Bảng biến thiên
Bảng biến thiên cho
0
2 2 2 2
( ; )
max p = p(2 ) = 8 khi x = 2 thì y = 2
+∞
2 Vậy : Hình vuông có cạnh bằng 2 cm là hình có chu vi nhỏ nhất
3 Một tấm tôn hình chữ nhật có cạnh là a và 2a .Tìm cạnh của hình vuông khi cắt bỏ từ bốn góc của
tấm tôn để tạo nên một hình hộp chữ nhật không có nắp sao cho nó có th
3 2 2
2 2 2 2
2
6 2
12 12 2 12 12 2 0
ể tích lớn nhất .
Giải
a
Gọi x là cạnh của hình vuông cần tìm . Điều kiện : 0 < x < .
Khi đó : V = x(a 2x)(2a 2x) = 4x ax a x
V = x ax a ; V = 0 x ax a
− − − +
′ ′
− + ⇔ − + = ⇔
3
2 6
a a
x == ±
Bảng biến thiên
Vậy : V lớn nhất khi
a a 3
x
2 6
= −
- 14 -
x
−∞
2 2−
0
2 2
+∞
p
′
−
−
0 +
p
8 2
x 0
a a 3
2 6
−
a
2
a a 3
2 6
+
+∞
V
′
+ 0
−
V
M
0 0
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét