mối quan hệ giữa các p.i nửa nguyên tố và điều kiện của ore và goldie về sự tồn tại vành các thương

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "mối quan hệ giữa các p.i nửa nguyên tố và điều kiện của ore và goldie về sự tồn tại vành các thương": http://123doc.vn/document/1051156-moi-quan-he-giua-cac-p-i-nua-nguyen-to-va-dieu-kien-cua-ore-va-goldie-ve-su-ton-tai-vanh-cac-thuong.htm

CHƯƠNG 1:
NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG
GIAO HOÁN
1.1. Tóm tắt những kiến thức cơ sở
Định nghĩa 1.1.1
Cho
R
là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong
R
đều khả đảo (đối với
phép nhân) thì
R
được gọi là một thể (hay vành chia).
Định nghĩa 1.1.2
*
M
được gọi là
R
-modul nếu tồn tại ánh xạ :
f
MR M





,mr mr
thỏa:




 
)
)
)
ima b ma mb
ii m n a ma na
iii ma b m ab
 


với
,;,,1mn M ab R


*
M
được gọi là
R
-modul trung thành nếu


.0Mr

thì 0r


Định nghĩa 1.1.3
Cho
M
là
R
-mođun, ta định nghĩa


A
M là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa
toàn bộ M.







.0AM r RMr 
Bổ đề 1.1.4







.0AM r RMr 
là ideal hai phía của
R
và
M
là

R
A
M
-modul trung thành.
M
là
R
-mođun trung thành 


(0)AM


Định nghĩa 1.1.5

M
được gọi là
R
-modul bất khả quy nếu


0M

và
M
chỉ có hai modul con tầm
thường là


0 và
M
.
Bổ đề 1.1.6
Nếu
M
là
R
-modul bất khả quy thì
R
M

 với

là ideal tối đại của
R
. Hơn nữa
:,aRxax xR

    .

được gọi là ideal phải chính quy. Ngược lại, nếu

là ideal phải
chính quy thì
R

là
R
-modul bất khả quy.
Định nghĩa 1.1.7 (Định nghĩa tâm tập)
Cho
M
là
R
-modul, ta gọi tâm tập của
M
trên
R
là tập hợp:






:,
rr
CM EM T T r R

  

với
:
r
TM M


r
mmTmr
Bổ đề 1.1.8
Nếu
M
là
R
-modul bất khả quy thì


CM là một thể (vành chia).
Chứng minh
Hiển nhiên,


CM là vành con của


E
M . Do đó


CM là một vành. Ta cần chứng
minh


CM

 và 0

 đều là phần tử khả nghịch trong


CM . Thật vậy, do 0


nên
0
M


và
M

cũng là mođun con của
M
.
Theo giả thiết
M
là
R
-modul bất khả quy nên ta có
M
M


, suy ra

là toàn cấu. Hơn
nữa

là đơn cấu, do ker 0

 . Thật vậy, giả sử ker 0


thì do
M
là
R
-modul bất khả quy
nên ker
M

 , khi đó 0

 (mâu thuẫn).
Tóm lại ta có

là đẳng cấu.
Suy ra tồn tại đẳng cấu ngược


1
E
M


 .
Khi đó ta có:



,
rr
CM T T r R




11
,
rr
TTrR
  



1
,
rr
TTrR


 

11
,
rr
TTrR






1
CM



Định nghĩa 1.1.9

A
được gọi là một vành Artin phải nếu những tập con khác rỗng của các ideal phải của
A
có phần tử nhỏ nhất. Hay những tập con khác rỗng của các ideal phải của
A
thỏa mãn chuỗi
điều kiện giảm.
1.2. Radical của vành và của một đại số
Định nghĩa 1.2.1
Radical của vành
R
, ký hiệu là


JR, là tập các phần tử của
R
mà linh hóa tất cả các
modul bất khả quy của
R
. Khi đó




JR AM

 với
M
là
R
- modul bất khả quy.


JR
được gọi là ideal hai phía của
R
.
Nếu
R
không có modul bất khả quy thì


JR R

. Khi đó
R
được gọi là radical Jacbson.
Định nghĩa 1.2.2
Một ideal phải

của
R
được gọi là chính quy nếu có một phần tử :aR


,
x
ax x R

.
Định nghĩa 1.2.3
Nếu

là một ideal phải của
R
thì




:= RxRRx


.
Bổ đề 1.2.4
Nếu

là ideal phải chính quy của
R
thì


:
R

là ideal hai phía lớn nhất của
R
nằm
trong

.
Nếu

là ideal phải tối đại chính quy của
R
thì




:
A
MR


với
R
M

 .
Định lý 1.2.5





:JR R

 với

là ideal phải tối đại chính quy của
R
.
Bổ đề 1.2.6
Nếu

là ideal phải chính quy của



R
R


thì

nằm trong một ideal phải chính quy
tối đại nào đó.
Định lý 1.2.7



JR

 với

là ideal phải tối đại chính quy của
R
.
Định nghĩa 1.2.8
* aR được gọi là tựa chính quy phải nếu ' : ' ' 0aRaaaa


* 'a được gọi là tựa nghịch đảo phải của a .
* Tương tự ta có tựa chính quy trái, tựa nghịch đảo trái.
* Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải.
*


JR là ideal tựa chính quy phải.

Định lý 1.2.9



JR là ideal tựa chính quy phải và chứa mọi ideal tựa chính quy phải, tức là


JR là
ideal tựa chính quy phải tối đại duy nhất của
R
.
Định nghĩa 1.2.10
* Phần tử aR được gọi là lũy linh nếu : 0
n
nNa

.
* Ideal phải (trái) của
R
được gọi là nil-ideal phải (trái) nếu mọi phần tử của nó đều lũy
linh.
* Ideal phải (trái)

của
R
được gọi là ideal lũy linh phải (trái) nếu :mN


12
0
mi
aa a a

, tức là :0
m
mN

 .
Nhận xét
* Nếu

là ideal lũy linh thì

là nil-ideal.
* Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy.
*


JR chứa mọi nil-ideal một phía.
* Nếu
R
có ideal lũy linh khác 0 thì
R
có ideal hai phía lũy linh khác 0.
Định nghĩa 1.2.11

A
được gọi là đại số trên trường F nếu
A
thỏa mãn các điều kiện:
*
A
là một vành.
*
A
là không gian vecto trên trường F .
*






,, :ab A F ab a b a b


  
Nếu
A
có đơn vị là 1 thì .1

nằm trong tâm của
A
với F


.
Mệnh đề 1.2.12
Nếu
A
là đại số trên trường F thì radical của đại số
A
trùng với radical của vành
A
.
Định nghĩa 1.2.13
Miền nguyên
A
(trong vành không giao hoán) là một vành không có ước của không.
Định nghĩa 1.2.14
Đại số
A
được gọi là đại số chia nếu
A
là một vành không giao hoán mà mọi phần tử
khác không đều khả nghịch.
1.3. Một số vành đặc biệt
1.3.1. Vành nửa đơn
Định nghĩa 1.3.1.1
Vành
R
được gọi là nửa đơn




0JR
Định lý 1.3.1.2


R
JR
là vành nửa đơn.
Bổ đề 1.3.1.3
Mọi ideal hai phía
A
của vành nửa đơn
R
đều là vành nửa đơn.
Định lý 1.3.1.4
Nếu
A
là ideal hai phía của vành
R
thì




JA JR A

 .
Định lý 1.3.1.5









nn
JM R M JR . Với


n
M
R là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong
vành không giao hoán
R
nào đó.
1.3.2. Vành Artin
Định nghĩa 1.3.2.1
Vành
R
được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của
R
đều có
phần tử tối tiểu.
(Vành
R
được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của
R
đều có
phần tử tối tiểu).
Ta có thể định nghĩa vành Artin bằng cách khác:
Vành
R
được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải
i

của
R
sẽ dừng
sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các
i

đều bằng nhau.
(Vành
R
được gọi là vành Artin trái nếu mọi dãy giảm các ideal trái
i

của
R
sẽ dừng
sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các
i

đều bằng nhau).
Nhận xét:

* Trường, thể (vành chia) là vành Artin.
* Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin.
* Mọi vành chỉ có hữu hạn các ideal phải (trái) là vành Artin.
* Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay thể là vành Artin.
* Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin.
Định lý 1.3.2.2
Nếu
R
là vành Artin thì


JR là một ideal lũy linh.
Hệ quả 1.3.2.3
Trong vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh.
Nhận xét:
Giả sử
R
là vành tùy ý, nếu
R
có ideal phải, lũy linh, khác


0 thì
R
sẽ có ideal phải hai
phía, lũy linh, khác

0.
Định nghĩa 1.3.2.4
Phần tử , 0eRe được gọi là lũy đẳng nếu
2
ee

.
Bổ đề 1.3.2.5
Giả sử
R
là một vành không có ideal lũy linh khác


0, giả sử


0

 là ideal phải (trái)
tối tiểu của vành
R
. Khi đó

là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào đó trong :
R
eR


.
Nhận xét:
Trong vành không có ideal lũy linh khác


0 thì mọi ideal phải (trái) khác


0, tối tiểu
đều là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng.
Bổ đề 1.3.2.6
Cho
R
là vành tùy ý, aR sao cho
2
aa

lũy linh. Khi đó, hoặc chính a lũy linh hoặc
tồn tại đa thức


qx với hệ số nguyên sao cho


.eaqa

là phần tử lũy đẳng khác 0.
Định lý 1.3.2.7
Nếu
R
là vành Artin và


0

 là ideal phải (trái) không lũy linh của
R
thì

chứa
phần tử lũy đẳng khác 0.
Định lý 1.3.2.8
Nếu
R
là vành tùy ý và e là phần tử lũy đẳng trong
R
thì


ReJe eJRe .
Định lý 1.3.2.9
Giả sử
R
là vành không có ideal lũy linh khác


0 và 0e

là phần tử lũy đẳng trong
R
.
Khi đó eR (ideal phải chính sinh bởi e ) là ideal phải tối tiểu của
R

vành Ree là một thể.
Hệ quả 1.3.2.10
Nếu
R
là vành không có ideal lũy linh khác


0 và e là phần tử lũy đẳng trong
R
thì eR
là ideal phải tối tiểu của
R
 Re là ideal trái tối tiểu của
R
.
Định lý 1.3.2.11
Giả sử
R
là vành Artin, nửa đơn và


0


là ideal phải bất kỳ của
R
thì
eR


với e
là phần tử lũy đẳng.
1.3.3. Vành nguyên thủy
Định nghĩa 1.3.3.1
Vành
R
được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có modul bất khả quy và trung thành.
Nhận xét:
i) Nếu
R
là vành nguyên thủy tồn tại
M
là
R
-modul bất khả quy và trung thành.









:00AM r R Mr. Xét ánh xạ:


:
:

r
REM
rTM M
mmr






M
trung thành

 đơn cấu.

R
 nhúng đẳng cấu vào trong


E
M





ker 0AM


ii) Nếu
R
là vành nguyên thủy thì




0JR

. Vì
R
là vành nguyên thủy thì




0AM  mà






0JR AM  .
Vậy mọi vành nguyên thủy đều nửa đơn.

iii) Nếu
R
là vành bất kì với
M
là
R
-modul bất khả quy thì


A
M là ideal hai phía của
R
và

R
A
M
là vành nguyên thủy.

iv) Nếu
M
là
R
-modul bất khả quy,

là ideal phải, tối đại, chính quy của
R
và nếu
R
M

 thì
 
:
A
MR

 là ideal hai phía lớn nhất nằm trong

. Khi đó ta có

:
R
R

là
vành nguyên thủy.
Định lý 1.3.3.2

R
là vành nguyên thủy

 là ideal phải, tối đại, chính quy trong
R
sao cho

:0R

 . Trong trường hợp này
R
là vành nửa đơn, hơn nữa nếu vành nguyên thủy
R
giao
hoán thì
R
là trường.
1.3.4. Vành đơn
Định nghĩa
Vành
R
được gọi là vành đơn nếu


2
0R  và trong
R
không có ideal thực sự nào ngoài

0 và
R
.
Mối liên hệ giữa vành đơn – vành nửa đơn – vành Artin – vành nguyên thủy
i) Nếu
R
là vành đơn có đơn vị thì
R
là vành nửa đơn.
Thật vậy, do
R
là vành đơn và có đơn vị nên


JR không thể bằng
R
.


0JR

R
 là vành nửa đơn.
ii) Nếu
R
vừa là vành đơn vừa là vành Artin thì
R
là vành nửa đơn.
Thật vậy, giả sử
R
vừa là vành đơn.



2
0R
Mà
2
R
là ideal của
R
nên
2
R
R
(vì
R
là vành đơn).
Ta cần chứng minh

0JR .
Giả sử
 
0JR , mà


JR là ideal của
R
nên


JR R

(vì
R
đơn).




2
2
JR R R.
Thực hiện liên tiếp các bước ta được




0
n
n
JR R R. Mà
R
là vành Artin nên
không có phần tử lũy linh khác


0.





0JR

R
 là vành nửa đơn.
iii) Nếu
R
là vành nguyên thủy thì
R
vừa là vành đơn.
Thật vậy, giả sử
R
là vành nguyên thủy, khi đó tồn tại
M
là
R
-modul bất khả quy trung
thành.









  
:00
0
AM r R Mr
JR AM

 


R
 là vành nửa đơn.

iv) Nếu
R
là vành vừa đơn vừa nửa đơn thì
R
là vành nguyên thủy.
Thật vậy, để chứng minh
R
là vành nguyên thủy ta chứng minh rằng trong
R
tồn tại
ideal phải, tối đại, chính quy

mà




:0R


.
Ta có :


:
R

là ideal của
R
.
Do
R
là vành đơn nên




:0R

 hoặc


:
R
R



Nếu


:
R
R

 thì


:
R
R

 (vô lý vì
R
là vành nửa đơn).








:0
:0
JR R
R


 



R
 là vành nguyên thủy.

v) Nếu
R
là vành Artin – đơn thì
R
là vành nguyên thủy.
Thật vậy, vì
R
là vành Artin nên


JR lũy linh, tức là tồn tại nN

sao cho




0
n
JR  .
Mặt khác, do
R
đơn nên

2
0R  .
Mà
2
R
là ideal hai phía của
R
nên


2
0RR (do
R
đơn).



0
n
R
Rn 

R
 không lũy linh.



JR R





0JR (do


JR là ideal hai phía của
R
)

R
 nửa đơn.
Vậy
R
là vành vừa đơn vừa nửa đơn nên
R
là vành nguyên thủy.
1.3.5. Vành nguyên tố
Định nghĩa 1.3.5.1

Vành
R
được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi ,ab R

thì

0
0
0
a
aRb
b






.

Bổ đề 1.3.5.2
Vành
R
là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa một trong các điều kiện sau:
i) Linh hóa tử bên phải (trái) của một ideal phải (trái) khác


0 của
R
phải bằng


0.
ii) Nếu ,
A
B là hai ideal của
R
và


0AB

thì suy ra



0
0
A
B







Bổ đề 1.3.5.3
Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố.
Định nghĩa 1.3.5.4
Tổng các ideal lũy linh không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng này là


0N , ta định
nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau:
* Nếu

là một bản số nào đó mà không là bản số giới hạn, 1


, ta định nghĩa


N

là ideal của
A
sao cho



N
N


là tổng tất cả các ideal lũy linh của

A
N

.